Analisis Of Variansi

11.56 |

1.1. Pengertian Anova

Anava atau Anova adalah sinonim dari analisis varians terjemahan dari analysis of variance, sehingga banyak orang menyebutnya dengan anova. Anova merupakan bagian dari metoda analisis statistika yang tergolong analisis komparatif lebih dari dua rata-rata (Riduwan.2008.Dasar-dasar Statistika.Bandung:Alfabeta).

Analisis Varians (ANAVA) adalah teknik analisis statistik yang dikembangkan dan diperkenalkan pertama kali oleh Sir R. A Fisher (Kennedy & Bush, 1985). ANAVA dapat juga dipahami sebagai perluasan dari uji-t sehingga penggunaannya tidak terbatas pada pengujian perbedaan dua buah rata-rata populasi, namun dapat juga untuk menguji perbedaan tiga buah rata-rata populasi atau lebih sekaligus.

Jika kita menguji hipotesis nol bahwa rata-rata dua buah kelompok tidak berbeda, teknik ANAVA dan uji-t (uji dua pihak) akan menghasilkan kesimpulan yang sama; keduanya akan menolak atau menerima hipotesis nol. Dalam hal ini, statistik F pada derajat kebebasan 1 dan n-k akan sama dengan kuadrat dari statistik t.

ANAVA digunakan untuk menguji perbedaan antara sejumlah rata-rata populasi dengan cara membandingkan variansinya. Pembilang pada rumus variansi tidak lain adalah jumlah kuadrat skor simpangan dari rata-ratanya, yang secara sederhana dapat ditulis sebagai

. Istilah jumlah kuadrat skor simpangan sering disebut jumlah kuadrat (sum of squares). Jika jumlah kuadrat tersebut dibagi dengan n atau n-1 maka akan diperoleh rata-rata kuadrat yang tidak lain dari variansi suatu distribusi. Rumus untuk menentukan varians sampel yaitu,

Seandainya kita mempunyai suatu populasi yang memiliki variansi

dan rata-rata

. Dari populasi tersebut misalkan diambil tiga buah sampel secara independent, masing-masing dengan n1, n2, dan n3. Dari setiap sampel tersebut dapat ditentukan rata-rata dan variansinya, sehingga akan diperoleh tiga buah rata-rata dan variansi sampel yang masing-masing merupakan statistik (penaksir) yang tidak bias bagi parameternya. Dikatakan demikian karena, dalam jumlah sampel yang tak hingga, rata-rata dari rata-rata sampel akan sama dengan rata-rata populasi

dan rata-rata dari variansi sampel juga akan sama dengan variansi populasi

Ada dua hal yang perlu diperhatikan, yaitu:

1. Kita memiliki 3 buah variansi sampel

yang masing-masing merupakan penaksir yang tidak bias bagi variansi populasinya. Jika n1=n2=n3=.....=nk, maka seluruh variansi sampel tersebut dapat dijumlahkan dan kemudian dibagi dengan banyaknya sampel (k) sehingga akan diperoleh rata-rata variansi sampel yang dalam jangka panjang akan sama dengan variansi populasi. Dalam bahasa ANAVA, rata-rata variansi sampel ini dikenal dengan rata-rata jumlah kuadrat dalam kelompok (RJKD) atau mean of squares within groups (MS_w).

2. Kita memiliki 3 buah rata-rata sampel yang dapat digunakan untuk menentukan rata-rata dari rata-rata sampel. Simpangan baku distribusi rata-rata sampel

atau galat baku rata-rata adalah simpangan baku distribusi skor dibagi dengan akar pangkat dua dari besarnya sampel.

Sejalan dengan itu, variansi distribusi rata-rata sampel

dapat ditulis sebagai berikut.

Dengan demikian,

sebagai penaksir yang tidak bias bagi variansi populasi akan ekuivalen dengan variansi distribusi rata-rata dikalikan dengan besarnya sampel (n) yang secara aljabar dapat ditulis sebagai berikut.

Dalam konteks ANAVA,

dikenal dengan sebutan rata-rata jumlah kuadrat antar kelompok (RJKA) atau mean of squares between groups (MS_B).

Jika seluruh sampel diambil secara acak dari populasi yang sama, maka

MS_B=MS_W atau RJKA = RJKD,

Sehingga,

F=MS_B/ MS_W =

ANAVA digunakan untuk menguji hipotesis nol tentang perbedaan dua buah rata-rata atau lebih. Secara formal, hipotesis tersebut dapat ditulis sebagai berikut.

Hipotesis nol di atas mengatakan bahwa rata-rata populasi pertama sama dengan rata-rata populasi ke dua dan seterusnya yang berarti bahwa seluruh sampel diambil dari populasi yang sama. Jika demikian maka, rata-ratanya akan mirip satu sama lain. Dalam menguji hipotesis nol tersebut, ANAVA meakukan perbandingan antara variansi antar kelompok (MS_B) dengan variansi dalam kelompok (MS_W). Jika ternyata kedua variansi itu sama (F=1) maka berarti seluruh sampel yang dianalisis berasal dari populasi yang sama, dan kita tidak memiliki dasar untuk menolak hipotesis nol. Namun, jika ada salah satu nilai rata-rata yang jauh berbeda dengan nilai rata-rata lainnya maka berarti sampel tersebut berasal dari populasi yang berbeda.

Seluruh subjek yang berada dalam satu kelompok memiliki karakteristik yang sama pada peubah bebas yang tengah dikaji. Dalam bahasa eksperimen, mereka seluruhnya menerima perlakuan yang sama, sehingga keragaman mereka pada peubah terikat dipandanga sebagai keragaman galat dan tidak berkaitan dengan perbedaan jenis perlakuan atau peubah bebas.

Perbedaan rata-rata antar kelompok terdiri atas dua unsur yaitu keragaman galat dan keragaman yang berkaitan perbedaan pada peubah bebas. Oleh karena keragaman di dalam kelompok (MS_W) merupakan penaksir yang tidak bias atas variansi populasi dan keragaman antara kelompok (MS_B) terdiri atas MS_W dan keragaman yang berkaitan dengan perlakuan, maka hubungan antara keduanya dapat dituliskan sebagai berikut:

Dengan demikian, F dapat juga dituliskan:

Jika dampak perlakuan sama dengan nol, maka

Persoalan kita sekarang adalah bagaimana membedakan pengaruh yang sistematik dari pengaruh yang tidak sistematik (acak). ANAVA dan statistika inferensial pada umumnya mendekati persoalan ini dengan menggunakan teori peluang. Statistika inferensial bertugas untuk menjawab suatu pertanyaan yang dapat dirumuskan sebagai berikut: :” jika hipotesis nol ternyata benar berapakah peluang memperoleh harga statistik tertentu?” Misalkan dalam ANAVA, kita memperoleh F=3,96. Pertanyaan yang harus dijawab adalah “berapa besar peluang memperoleh F=3,96 jika ternyata hipotesis nol itu benar?” Paket analisis statistik pada komputer umumnya memberikan jawaban terhadap pertanyaan tersebut secara langsung dalam bentuk p= 0,25, 0,01, 0,001 dan sebagainya. namun jika dilakukan secara manual maka harga F_hitung harus dibandingkan dengan nilai kritis yang sudah disediakan dalam bentuk F_tabel pada derajat kebebasan dan tingkat keyakinan. Nilai p yang lebih kecil dari nilai yang ditentukan menunjukkan penolakkan terhadap H₀. Kesimpulan yang sama diperoleh jika ternyata F_hitung > F_tabel. Menolak hipotesis nol berarti menyimpulkan bahwa perbedaan antara MS_B dengan MS_W berkaitan dengan pengaruh yang sistematik dari faktor atau peubah bebas yang diteliti. (Furqon. 2009. Statistika Terapan untuk Penelitian. Cetakan ketujuh. ALFABETA: Bandung).

1.2. Anova Satu Arah

Dinamakan analisis varians satu arah, karena analisisnya menggunakan varians dan data hasil pengamatan merupakan pengaruh satu faktor.Dari tiap populasi secara independen kita ambil sebuah sampel acak, berukuran n₁ dari populasi kesatu, n₂ dari populasi kedua dan seterusnya berukuran n_k dari populasi ke k. Data sampel akan dinyatakan dengan Y_ij yang berarti data ke-j dalam sampel yang diambil dari populasi ke-i. ( Sudjana.1996.Metoda Statistika.Bandung:Tarsito Bandung).

ANAVA satu jalur yaitu analisis yang melibatkan hanya satu peubah bebas. Secara rinci, ANAVA satu jalur digunakan dalam suatu penelitian yang memiliki ciri-ciri berikut:1. Melibatkan hanya satu peubah bebas dengan dua kategori atau lebih yang dipilih dan ditentukan oleh peneliti secara tidak acak. Kategori yang dipilih disebut tidak acak karena peneliti tidak bermaksud menggeneralisasikan hasilnya ke kategori lain di luar yang diteliti pada peubah itu. Sebagai contoh, peubah jenis kelamin hanya terdiri atas dua ketgori (pria-wanita), atau peneliti hendak membandingkan keberhasilan antara Metode A, B, dan C dalam meningkatkan semangat belajar tanpa bermaksud menggeneralisasikan ke metode lain di luar ketiga metode tersebut.

1. Perbedaan antara kategori atau tingkatan pada peubah bebas dapat bersifat kualitatif atau kuantitatif.

2. Setiap subjek merupakan anggota dari hanya satu kelompok pada peubah bebas, dan dipilih secara acak dari populasi tertentu. (Furqon. 2009. Statistika Terapan untuk Penelitian. Cetakan ketujuh. ALFABETA: Bandung)

Tujuan dari uji anova satu jalur adalah untuk membandingkan lebih dari dua rata-rata. Sedangkan gunanya untuk menguji kemampuan generalisasi. Maksudnya dari signifikansi hasil penelitian. Jika terbukti berbeda berarti kedua sampel tersebut dapat digeneralisasikan (data sampel dianggap dapat mewakili populasi). Anova satu jalur dapat melihat perbandingan lebih dari dua kelompok data. (Riduwan.2008.Dasar-dasar Statistika.Bandung:Alfabeta)

Anova pengembangan atau penjabaran lebih lanjut dari uji-t (

) .Uji-t atau uji-z hanya dapat melihat perbandingan dua kelompok data saja. Sedangkan anova satu jalur lebih dari dua kelompok data. Contoh: Perbedaan prestasi belajar statistika antara mahasiswa tugas belajar (

), izin belajar (

) dan umum (

Anova lebih dikenal dengan uji-F (Fisher Test), sedangkan arti variasi atau varian itu asalnya dari pengertian konsep “Mean Square” atau kuadrat rerata (KR).

Rumusnya :

Dimana:

= jumlah kuadrat (some of square)

= derajat bebas (degree of freedom)

Menghitung nilai Anova atau F (

) dengan rumus :

Varian dalam group dapat juga disebut Varian Kesalahan (Varian Galat). Dapat

dirumuskan :

= ∑

untuk

Dimana

= sebagai faktor koreksi

N = Jumlah keseluruhan sampel (jumlah kasus dalam penelitian).

A = Jumlah keseluruhan group sampel.

2. Langkah-langkah Anova Satu Arah

2.1. Prosedur Uji Anova Satu Arah

1) Sebelum anova dihitung, asumsikan bahwa data dipilih secara

random,berdistribusi normal, dan variannya homogen.

2) Buatlah hipotesis (

dan

) dalam bentuk kalimat.

3) Buatlah hipotesis (

dan

)dalam bentuk statistik.

4) Buatlah daftar statistik induk.

5) Hitunglah jumlah kuadrat antar group (

) dengan rumus :

= ∑

6) Hitunglah derajat bebas antar group dengan rumus :

7) Hitunglah kudrat rerata antar group (

) dengan rumus :

8) Hitunglah jumlah kuadrat dalam antar group (

) dengan rumus :

9) Hitunglah derajat bebas dalam group dengan rumus :

10) Hitunglah kuadrat rerata dalam antar group (

) dengan rumus :

11) Carilah

dengan rumus :

12) Tentukan taraf signifikansinya, misalnya α = 0,05 atau α = 0,01

13) Cari

dengan rumus :

14) Buat Tabel Ringkasan Anova

TABEL RINGKASSAN ANOVA SATU ARAH

Sumber Varian (SV)	Jumlah Kuadrat (JK)	Derajat bebas (db)	Kuadrat Rerata (KR)		Taraf Signifikan ()
Antar group (A)	∑
Dalam group (D)				-	-
Total			-	-	-

15) Tentukan kriteria pengujian : jika

≥

, maka tolak

berarti signifan dan konsultasikan antara

dengan

kemudian bandingkan

16) Buat kesimpulan.

2.2. Contoh Soal dan Pembahasan

Seorang ingin mengetahui perbedaan prestasi belajar untuk mata kuliah dasar-dasar statistika antara mahassiswa tugas belajar, izin belajarn dan umum.

Data diambil dari nilai UTS sebagai berikut :

Tugas belajar (

) = 6 8 5 7 7 6 6 8 7 6 7 = 11 orang

Izin belajar (

) = 5 6 6 7 5 5 5 6 5 6 8 7 = 12 orang

Umum (

) = 6 9 8 7 8 9 6 6 9 8 6 8 = 12 orang

Buktikan apakah ada perbedaan atau tidak?

LANGKAH-LANGKAH MENJAWAB :

1. Diasumsikan bahwa data dipilih secara random, berdistribusi normal, dan variannya homogen.

2. Hipotesis (

dan

) dalam bentuk kalimat.

= Terdapat perbedaan yang signifikan antara mahasiswa tugas belajar, izin belajar dan umum.

= Tidak ada perbedaan yang signifikan antara mahasiswa tugas belajar, izin belajar dan umum.

3. Hipotesis (

dan

) dalam bentuk statistic

≠

STATISTIK				TOTAL(T)
	11	12	12	N=35
∑	73	71	90	234
∑	943	431	692	1616
	6,64	5,92	7,5	6,69
	484,45	420,08	675	1564,46
Varians (	0,85	0,99	1,55	1,33

4. Menghitung jumlah kuadrat antar group (

) dengan rumus :

= ∑

)

5. Hitunglah derajat bebas antar group dengan rumus :

= A − 1 = 3 – 1 = 2 A = jumlah group A

6. Hitunglah kudrat rerata antar group (

) dengan rumus :

7. Hitunglah jumlah kuadrat dalam antar group (

) dengan rumus :

8. Hitunglah derajat bebas dalam group dengan rumus :

9. Hitunglah kuadrat rerata dalam antar group (

) dengan rumus :

10. Carilah

dengan rumus :

11. Tentukan taraf signifikansinya, misalnya α = 0,05

12. Cari

dengan rumus :

Cara mencari : Nilai

dan arti angka

0,95 = Taraf kepercayaan 95% atau taraf signifikan 5%.

Angka 2 = pembilang atau hasil dari

Angka 32 = penyebut atau hasil dari

Apabila angka 2 dicari ke kanan dan angka 32 ke bawah maka akan bertemu

dengan nilai

. Untuk taraf signifikansi 5% dipilih pada bagian atas dan 1% dipilih pada bagian bawah.

13. Buat Tabel Ringkasan Anova

TABEL

RINGKASSAN ANOVA SATU JALUR

Sumber Varian (SV)	Jumlah Kuadrat (JK)	Derajat bebas (db)	Kuadrat Rerata (KR)		Taraf Signifikan ()
Antar group (A)	15,07
Dalam group (D)				-	-
Total			-	-	-

14. Tentukan kriteria pengujian : jika

≥

, maka tolak

berarti signifan.

Setelah konsultasikan dengan tabel F kemudian bandingkan antara

dengan

,ternyata :

atau 6,61 > 3,30 maka tolak

berarti signifan.

15. Kesimpulan

ditolak dan

diterima. Jadi, terdapat perbedaan yang signifikan antara mahasiswa tugas belajar, izin belajar dan umum.

Contoh 2

Sebuah penelitian dilakukan untuk mengetahui apakah ada pengaruh perbedaan metode belajar pada tingkat prestasi siswa. Ada tiga metode belajar yang akan diuji. Diambil sampel masing-masing 5 guru untuk mengerjakan pekerjaannya, lalu dicata waktu yang digunakan (menit) sebagai berikut: